Quesito con la Susi n. 959

Ed eccoci al quesito con la Susi n. 959.

Susi, Gianni e due amici sono andanti al fiume per fare un giro in canoa, ma si sono dati appuntamento su due moli diversi: Susi e un'amica si trovano al molo Bianco mentre Gianni e l'amico sono al molo Nero.

Resasi conto dell'errore, Susi affitta una canoa e si avvia con l'amica verso il molo Nero. Ad un certo punto le viene in mente che Gianni e l'amico potrebbero avere la stessa idea. Quindi chiama Gianni sul cellulare e lo informa che loro si stanno dirigendo verso il molo Nero e hanno già percorso 600 metri (Susi ha molto occhio per le distanze).

Come a dire: aspettateci lì, così poi passiamo il resto della giornata assieme.

Ma Gianni, che è un gran bastardo, non ha nessuna intenzione di perdersi il gusto di qualche pagaiata extra e perciò decide di partire in canoa per il molo Bianco: le risponde che sarebbero partiti in quel momento e che con il favore della corrente sarebbero andati al doppio della loro velocità — non sa quale sia la velocità di Susi, ma sa che la loro velocità sarà il doppio.

Esattamente il doppio.

A sera, quando finalmente si saranno liberati degli amici e siederanno soli gustando un'aperitivo prima della cena e del dessert, Gianni troverà il modo di giustificare la bastardata imbastendo un indovinello.

Da parte sua, Susi non si scompone più di tanto: lo conosce da anni e anni e sa come andrà a finire. Per questo e per via delle parole di Gianni, decide di semplificarsi la vita impegnandosi a mantenere una velocità costante (in media).

A un certo punto si incrociano pure, ma fanno finta di niente e continuano a pagaiare senza mai fermarsi.

Quando Gianni raggiunge finalmente il molo Bianco, telefona a Susi per sapere dove si trovano. L'impianto bionico nell'occhio di Susi le permette di sapere l'esatta distanza mancante per raggiungere il molo Nero: 400 metri. L'amica mormora tra sé e sé che secondo lei sono di più. Alza le spalle e pensa che la prossima volta piuttosto andrà in montagna con Adalberto.

La sera si avvicina e Gianni e Susi, scaricati finalmente gli amici, riescono a incontrarsi in un ristorantino vista fiume.

C'è silenzio mentre Susi degusta un'aperitivo e riflette sulle parole da dire per fare in modo che Gianni si renda conto di quanto gioioso tempo di compagnia hanno perso per il suo ridicolo gioco di scambio molo. Pensasse ogni tanto a qualche gioco di scambio più interessante! Sorride maliziosamente a questa assurda idea.

Gianni non ha ancora deciso come proporre l'indovinello che vuole usare per far credere a Susi che la mezza giornata persa a scambiarsi di molo non è stata il frutto (privo di semi intellettuali) del suo egoismo.

Alla fine Susi chiede qual è la distanza tra i due moli: le braccia le fanno ancora male per colpa dello sforzo di mantenere controcorrente una velocità media che fosse la metà di quella che poteva mantenere Gianni, perciò è curiosa di farsi un'idea dei metri che hanno percorso, lei e l'amica, pagaiando come forsennate.

Era proprio quello che Gianni stava aspettando!

«Susi, me la devi dire tu!» le risponde con un largo sorriso soddisfatto.

Soluzione automatica

Per farla come è stata fatta in altri casi, per esempio usando Maxima, è necessario prima avere una comprensione del problema che ci porta al sistema di equazioni risolto il quale otteniamo la soluzione cercata.

Cioè praticamente dobbiamo avviare la soluzione manuale e usare il computer come strumento di calcolo (come calcolatore) per risolvere il sistema e niente altro. È stato fatto altre volte, ma proprio per questo tale approccio non è quello che voglio usare ora.

Pensavo invece di provare a impostare una specie di simulazione.

L'ho scritta in Java, tanto per riempire una casella, ma non uso nessuna caratteristica particolare del linguaggio — che del resto come linguaggio non ha nessuna caratteristica particolare che lo renda più adatto allo scopo.

La simulazione è estremamente stupida, come al solito: prova “tutte” le distanze a partire da quella minima (400 + 600). Il molo Bianco si trova nell'origine, quello Nero proprio alla distanza che stiamo provando. La canoa di Susi parte sempre da 600, quella di Gianni sempre da D (la distanza che stiamo provando). Il tempo viene incrementato a piccoli intervalli finché la canoa di Gianni non raggiunge il molo Bianco, cioè arriva a 0. A questo punto si può vedere dove si trova la canoa di Susi: se è vicina a D − 400, allora la distanza D che stiamo provando è quella che cerchiamo.

Inutile dire che c'è uno spreco assurdo di risorse…

Da notare che la velocità non è importante e perciò nella simulazione viene fissata a 1. Se non arrivassimo a capire che la velocità non è importante, per ogni distanza da provare dovremmo provare anche qualunque velocità (eccetto 0).

Quindi per fare questa simulazione un minimo dobbiamo ragionare sul perché la velocità non può influire sul risultato¹, e questo ci dà anche degli indizi per la soluzione manuale.

Fatto ciò, possiamo dimenticarci della velocità e sceglierne una arbitrariamente. Nella realtà, se la velocità è troppo bassa Susi e Gianni diventeranno vecchi in quella canoa… Ma la distanza tra i due moli sarà sempre la stessa.

Soluzione manuale

La meccanica classica ci dice che, data una certa velocità e un intervallo di tempo (finito), lo spazio percorso è dato da:

\[ S = v \Delta t \]

Non è necessario che la velocità sia sempre quella: è sufficiente che sia quella in media; perciò potrei scrivere $\bar{v}$, ma non lo farò.

Indichiamo con Δt l'intervallo di tempo tra quando Susi telefona a Gianni (Susi è già a 600 metri dal suo molo e Gianni è ancora al suo molo), t₀, e quando Gianni arriva al molo Bianco (in quel momento Susi si trova a 400 metri dal molo di destinazione), t₁; cioè Δt = t₁ − t₀.

Usando la formuletta sopra data:

\[ D = 2v_0 \Delta t \]

Questo D è la distanza percorsa da Gianni, v₀ è la velocità di Susi e Δt è come detto prima. Visto che tale intervallo di tempo è proprio quello che ci è voluto a Gianni per arrivare al molo Bianco partendo dal molo Nero, D è proprio la distanza tra i due moli, cioè la risposta che Susi sta cercando.

Ci serve però un'altra equazione. Cosa possiamo dire di Susi? Possiamo calcolare la distanza percorsa dalla sua canoa nello stesso intervallo di tempo. Questa distanza, espressa in termini di D, deve essere:

\[ S = D - (400 + 600) \]

Infatti Susi a t₀ ha già percorso 600 metri, mentre a t₁ le mancano da percorre altri 400 metri per raggiungere il molo Nero: nell'intervallo di tempo Δt ha percorso la distanza tra i due moli meno i 600 metri che ha fatto prima che partisse il cronometro (prima di t₀) e meno quelli che le mancano a t₁ per raggiungerlo.

Quindi la nostra seconda equazione è:

\[ D - 1000 = v_0 \Delta t \]

Abbiamo due semplici equazioni in due incognite (D e v₀Δt) che sappiamo risolvere.

Nota: la velocità v₀ è la velocità rispetto a terra, non rispetto alla corrente del fiume.²

Per seguire più da vicino quanto ho scritto nel testo della simulazione possiamo procedere in un altro modo (ma a ben guardare in realtà è lo stesso).

\[ T = D \frac{1}{v_g} \\ S = v_s T = v_s D \frac{1}{v_g} = D \frac{v_s}{v_g} = D\frac12 \\ S = D - 1000 \\ D - 1000 = \frac{D}2 \\ D = 2000 \]

(In questo caso, tanto per confondervi, ho usato v_g per la velocità di Gianni e v_s per quella di Susi — prima avevo usato v₀…)

Altro metodo

Voglio chiamarlo “metodo geometrico”, così, perché mi va. Se andate giù a leggere i commenti vedete che è quello suggerito (in modo secondo me arzigogolato) da un anonimo avventore.

Il vantaggio del metodo è che non serve far comparire esplicitamente tempo e/o velocità. Basta sapere il rapporto tra le velocità di Susi e Gianni, e “intuire” la linearità tra spazio e velocità.

Così è anche un modo più succinto di spiegare perché nella simulazione non è importante qual è la velocità di Susi, purché quella di Gianni sia il doppio (o viceversa: non è importante qual è la velocità di Gianni, purché quella di Susi sia la metà).

Sempre a ben guardare anche questo m(et)odo è lo stesso degli altri.

Dunque…

Dovrebbe spiegare perché l'ho voluto chiamare “metodo geometrico”.

Gianni va al doppio della velocità di Susi, quindi fa 2m nel tempo in cui Susi ne fa 1. Questo lo usiamo solo per stabilire che il segmento tra le palle deve essere 2x (essendo x la distanza percorsa da Susi).

Dopodiché “geometricamente” vediamo che il suddetto segmento deve essere anche uguale a 600 + x + 400. Abbiamo cioè la seguente uguaglianza

\[ 600 + x + 400 = 2x \]

Un'equazione dalla quale è facile ricavare x e quindi arrivare alla soluzione: ciascun membro dell'uguaglianza rappresenta la lunghezza del segmento, quindi sostituiamo x in uno a scelta e otteniamo 2000.

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1. Il tempo impiegato per percorrere una distanza è inversamente proporzionale alla velocità: a parità di distanza, se raddoppiamo la velocità dimezziamo il tempo. Lo spazio percorso in un certo tempo è, invece, direttamente proporzionale alla velocità e naturalmente se dimezziamo il tempo, lo spazio si dimezza. Ma se c'è una relazione di proporzionalità tra la velocità usata per calcolare il tempo impiegato a percorrere un certo spazio e la velocità usata per calcolare lo spazio percorso in quel tempo (da un altro mezzo, una canoa in questo caso), un raddoppio della prima velocità porta sì a un dimezzamento del tempo, ma anche a un raddoppio della seconda velocità; e lo spazio percorso nella metà del tempo al doppio della velocità è sempre lo stesso… (Ok, credo sia più facile dirlo in formule… cfr. la soluzione manuale).↩

2. Pensiamo al fiume come a un nastro che si muove con velocità relativa a terra v_c verso il molo Bianco. Senza remare Gianni può andare alla velocità −v_c (rispetto alla terra e considerando come verso positivo quello che va dal Bianco al Nero), ovvero, in assoluto, v_c in direzione del molo Bianco. Se Susi non rema, si allontanerà dal molo Nero (e dal Bianco) alla stessa velocità della corrente. Se rema in modo da avere, rispetto alla corrente, la velocità v_c in direzione del molo Nero… non si muoverà da dove si trova. Dovrà remare in modo da avere una velocità, rispetto alla corrente, di 1.5v_c (sempre verso il molo Nero). In questo modo rispetto a terra andrà a v_c/2, cioè alla metà della velocità (rispetto a terra) di Gianni. Questo è il caso in cui Gianni non rema. Non ci è dato di sapere in che modo Gianni possa dire con certezza che la sua velocità è il doppio di quella di Susi perché hanno la corrente a favore.↩