Tanto per battere un colpo

Tanto per battere un colpo (e per pareggiare in quantità di post il "mio" blog in inglese) e per passare 5 minuti in attesa di essere asservito al potere alimentare... Mi è capitato sotto mano di nuovo "la prova matematica" che 2=1.

Divertente, tanto per scherzare, ma purtroppo leggendo i commenti mi pare di evincere che moltissimi (troppi) pensano che questo dimostri realmente che 2=1 o che la matematica sia una opinione o qualcosa di "fragile" che può ingannare.


La "prova" si svolge così:

$$a = b$$

$$a^2 = ab$$

$$a^2 + a^2 = a^2 + ab$$

$$2a^2 = a^2 + ab$$

$$2a^2 - 2ab = a^2 + ab - 2ab$$

$$2a^2 - 2ab = a^2 - ab$$

$$2(a^2 - ab) = 1(a^2 - ab)$$

$$2 = 1$$

Il fatto che stranamente non balza agli occhi è che già la seconda equazione ci informa che \(a^2 = ab\) ovvero che \(a^2 - ab = 0\), e quando si semplificano le espressioni dividendo per una quantità incognita, bisogna imporre che tale quantità sia diversa da zero; in questo caso \(a^2 - ab \ne 0\), che contraddice la seconda riga e ci suggerisce che tale operazione non è fattibile; di fatto, stiamo dividendo per zero e questo sappiamo che "non è bene".

Dunque non è che la matematica che inganna, è imprecisa o è intrinsecamente difficile: qui il problema è che non tutte le "manipolazioni algebriche" che si stanno facendo sono corrette; quella riguardo la divisione non "recita" che due membri di una equazione restano uguali se divisi per una stessa quantità. Questo è vero, e fattibile, solo imponendo che tale quantità sia diversa da zero (e come detto nel caso specifico ciò porta a una contraddizione).

Per riassumere, gli unici passaggi necessari per evidenziare il problema di questo "enigma", sono:

$$a = b$$

$$a - b = 0$$

$$1(a - b) = 0$$

$$1 = 0$$

Ma come detto prima di eseguire la divisione bisogna imporre \(a \ne b\), che è esattamente l'opposto di quanto stabilito nella prima riga. Da una simile contraddizione l'unica verità matematica che esce fuori è che "non si può dividere per zero"... Anche se...