sabato 22 settembre 2012

Contare il numero di quadrati

Su faccialibro è comparso questo quesito un bel po' di volte.


Il primo problema è interpretare la domanda: chi l'ha fatta cosa intendeva per quadrato? Ok, sembra una domanda banale, ma io potrei affermare che affinché 4 linee formino un quadrato "puro" è necessario che non ci siano altri tratti all'interno, cioè che la superficie interna del quadrato, identificabile graficamente, sia un quadrato essa stessa, senza discontinuità. Questo rende "non quadrati" la maggior parte dei quadrati identificati dal solo perimetro e la risposta alla domanda sarebbe 8 (i 4 a sinistra e i relativi speculari a destra) + 8 (quelli più piccoli "formati" dai due quadrati centrali) = 16. Un'altra cosa non ben chiara è se i quadrati che andremo a formare debbano avere per forza lati coincidenti con i tratti in blu oppure no.

Penso che la domanda originale non ponga questo limite e identifichi un quadrato semplicemente dai tratti che formano il suo perimetro, imponendo che tali tratti siano preesistenti nel disegno. Con questa più generica e forse più corretta definizione locale di quadrato possiamo applicare un metodo di conteggio meccanico empirico che, con un po' di attenzione, ci  dovrebbe portare al risultato corretto.

Per prima cosa ad occhio identifichiamo una sorta di "quadrato unità". È il quadrato minimo comune con il quale si può costruire l'intera immagine (più tecnicamente si può chiamare modulo).
Questo quadrato unità compare 4×4 + 2 (i centrali) volte.
I due quadrati unità piazzati al centro a causa dell'interesezione con le linee dei quattro quadrati unità la cui superficie complessiva li contiene, formano altri 8 quadrati (di superficie pari a un quarto della superficie dell'unità).
Usando 4, 9 e 16 quadrati unità si possono formare quadrati di tre dimensioni diverse (osservate che 2×2 = 4, 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16 e dunque stiamo parlando di 3 quadrati che hanno lati di lunghezza 2, 3 e 4 rispettivamente, misurata in unità derivate da lato del quadrato unità, o volendo hanno superficie 4, 9, 16, misurata in unità quadrato unità).
Il quadrato più grande, quello formato da 16 quadrati unità, è unico (1): non è possibile, rimanendo nell'area che circoscrive (o sarebbe meglio dire quadriscrive?) l'intera figura, formarne più di uno.
Che dire invece di quello di dimensioni 3? Quanti ne possiamo collocare "sulla griglia"? La risposta è 4.
Infatti possiamo "spostare" quello indicato nell'immagine di una posizione a destra, o di una posizione sotto, o entrambe (cioè posizionarlo in modo che lo spigolo inferiore destro coincida con lo spigolo inferiore destro dell'intera immagine).
Si può fare un giochetto simile per quelli di superficie 4 quadrati unità. Di questi, ne troviamo 9 come si evince empiricamente spostando di volta in volta uno spigolo di riferimento (p.es. quello superiore sinistro) in modo che coincida con uno spigolo della griglia, e che i lati coincidano con tratti già tracciati del disegno (o, dicendola alternativamente: tutti gli spigoli devono essere punti di intersezione tra due "tratti").
Abbiamo concluso la conta e non ci resta che sommare il tutto: 4×4 + 2 + 8 + 1 + 4 + 9 = 40.
E 40 è la risposta definitiva, trovata "empiricamente".

Ne vedete altri? E allora ci va sempre bene un "forse".

7 commenti:

  1. Maure! Non sono riuscito a leggere tutta la tua analisi, ma complimenti per la tua passione e curiosità.
    Quest'esercizio mi ricorda tanto un problema che ci era stato posto in un corso di sviluppo personale, per spiegare la presenza nel nostro cervello di schemi mentali che ci potrebbero limitare. Quest'ultimi di fatto assenti nei bambini perchè non ancora appresi.
    Quindi la prima soluzione che mi è venuta in mente facendolo è stata proprio il contare il MASSIMO dei quadrati che potessi trovare, e ti giuro che con la mia pigrizia ce ne ho messo di tempo :P
    Penso che più il problema si avvicini a strutture mentali (ad esempio quadrato) a cui personalmente si danno regole (limiti in certi casi) più i problemi possono essere complessi?

    Hai mai risolto il problema dei 9 punti (disposti a quadrato 3x3) da dover unire con 3 linee di una matita senza staccarla dal foglio?

    Anche quello è interessante!

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    1. Ti ho mai risposto? :-D
      se uso una penna invece di una matita va bene uguale? a me viene in mente questa tecnica https://plus.maths.org/issue47/features/macgregor/diagram3.gif che è come si dimostra che i numeri razionali sono numerabili… ma nel caso specifico ovviamente la griglia è solo 3×3 (quindi ci interessa solo la "tecnica" per passare su tutti i punti) e va ripetuta due volte, la seconda specularmente (diciamo rispetto all'asse verticale passante per il punto centrale, ma dipende da come si è proceduto con il primo tratto); però così servono altri due tratti, tranne nel caso in cui sia ammesso tracciare di nuovo segmenti già tracciati…

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  2. sono 44, prova a contare di nuovo

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    1. Riprovato. Quali sono questi 4 mancanti?

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    2. sono 40: https://www.facebook.com/gino.cancello/videos/10207187313626420/

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    3. Evidentemente desiderava che fossero 44, per via della filastrocca dei gatti… Quanto a me, non ho veramente riprovato… ma mi sarebbe piaciuto sapere la sua risposta.

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    4. p.s. senza dubbio l'approccio animato arriva più facilmente…

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