Quesito con la Susi n. 923

Ecco un altro quesito con la Susi: il solito Gianni che pensa di far colpo sulle donne così… In questo concorso, il Gianni invita la Susi da lui: Susi, vuoi vedere il mio mazzo nuovo?

Susi crede chissà che e perciò accetta… per scoprire, con suo disappunto, che Gianni stava parlando di carte. E così le tocca subire la solita sfida…

Susi, le carte che vedi sul tavolo mostrano i numeri da 1 a 10. Ora le girerò.

La somma dei punti delle tue tre carte è un quinto della somma delle mie quattro.

Qual è la somma delle tre carte che sono rimaste sul tavolo?

Nell'ultima immagine vediamo la Susi che regge le sue tre e carte e le guarda pensosa. Così non vale però: il quesito è per la Susi e questa, sapendo quali carte ha in mano, può rispondere molto facilmente alla domanda di Gianni. Se chiamiamo la somma del valore delle carte in mano a Susi S_s, quella delle carte in mano a Gianni S_g e quella delle tre carte rimaste sul tavolo x (che è il valore incognito che ci interessa), abbiamo banalmente che

\[ S_g + S_s + x = 55 \]

Infatti la somma dei numeri da 1 a 10 è 55¹. La Susi conosce S_s e sa anche che

\[ S_g = 5S_s \]

Ciò la porta ad una banale equazione con una incognita, precisamente:

\[ x = 55 - 6S_s \]

Susi così arriva alla soluzione, mentre il lettore deve rifletterci un po' di più perché non conosce S_s.

Per prima cosa osserviamo che la somma S_s non può essere maggiore di 9, perché altrimenti avremmo un numero negativo. In secondo luogo ricordiamoci che sia S_s che x sono frutto della somma di tre numeri compresi tra 1 e 10 e le cifre usate in una somma non possono essere usate per l'altra (una determinata carta o è in mano a Susi, o è sul tavolo, o è in mano a Gianni). Il più piccolo numero che si può ottenere con tre carte è 6 (1+2+3); il più grande è 27 (8+9+10). Dunque la differenza del membro di destra non può essere inferiore a 6, né maggiore di 27. Ciò significa che S_s può essere solo 6 (x = 19)², 7 (x = 13) o 8 (x = 7).

Il 6 si può ottenere solo con 1+2+3. Le altre tre carte (prese tra le restanti, cioè escludendo la 1, la 2 e la 3) che contribuiscono a x devono darci 19. In quanti modi diversi è possibile ottenere 19 con 3 carte con valori compresi tra 1 e 10? In tre modi diversi; ma sappiamo anche che le altre 4 carte rimaste, sommate, devono darci un numero che è 5 volte 1+2+3, cioè 30. Perciò

Tavolo	Gianni	5Sg
4 + 5 + 10 →	6 + 7 + 8 + 9	= 303
4 + 6 + 9 →	5 + 7 + 8 + 10	= 30
4 + 7 + 8 →	5 + 6 + 9 + 10	= 30

Concludiamo che la Susi debba avere proprio 1, 2 e 3 e che quindi la somma delle tre carte a terra debba essere 19. Poiché il problema deve essere risolvibile e dare un numero unico, non è necessario nemmeno dimostrare che questa è (o non è) l'unica soluzione possibile…⁴

Verifichiamo comunque, con un procedimento “esaustivo”, che gli altri casi non soddisfano i vincoli dati. Se Susi avesse 7 (1+2+4, unica possibilità anche in questo caso), la somma delle carte sul tavolo sarebbe 13, che però non si può fare con tre carte scelte tra le rimanenti (3, 5, 6, 7, 8, 9 e 10⁵). Questo esclude 7. Con 8, la somma dei valori delle carte sul tavolo sarebbe 7, ottenibile solo con 1+2+4. Tolte queste carte (che sono sul tavolo), il numero più piccolo ottenibile con quelle restanti è 14, e ciò contraddice l'ipotesi che la somma dei valori delle carte in mano a Susi fosse 8. Perciò va escluso.

Usare un computer per trovare la soluzione

In un precedente post ho attaccato il problema 921° in Prolog. In questo post voglio usare l'Haskell. L'idea è semplice e usa la forza bruta: prendo tre carte per Susi, tre carte per il tavolo, quattro carte per Gianni, calcolo le somme, controllo che soddisfino le condizioni, cioè 5S_s = S_g e S_g + S_s + x = 55⁶. Faccio ciò per ogni permutazione possibile delle carte, cioè in pratica controllo tutte le possibilità. Se le condizioni sono soddisfatte, ho trovato la soluzione⁷.

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1. C'è un aneddoto, abbastanza noto, su Gauss e la formula che ci consente di sapere la somma dei numeri da 1 a N (che è di fatto un caso particolare della somma di tutti gli interi da m a n); formula che conviene usare invece di sommare a mano i numeri, anche quando N è soltanto 10. La formula è molto semplice: N(N+1)/2.↩

2. Va scartato il 5 perché con tre carte non è possibile ottenerlo.↩

3. Naturalmente è scontato che il risultato sia sempre lo stesso numero e non è necessario ricalcolarlo ogni volta. Il motivo è semplice: qualunque sia il modo lecito di ottenere 19 con 3 carte, tolte le tre carte di Susi che danno 6, le restanti 4 carte, sommate, devono per forza dare 55 - 19 - 6, cioè 30 (scritta simbolicamente questa è proprio 55 − x − S_s = 5S_s, che è la relazione che già sapevamo). Poiché 30 è proprio 5×6, realizziamo già che la somma delle tre carte sul tavolo deve essere proprio 19. Il problema non ci chiede di determinare esattamente le carte perché è un'informazione che non è possibile ricavare.↩

4. Nel senso che non è possibile che ci siano altre soluzioni perché, se ci fossero, il problema non sarebbe ben determinato e avrebbe più di una risposta corretta, mentre Gianni sta chiedendo un numero ben preciso. Non è una dimostrazione “matematica” del fatto che non possono esistere altre soluzioni, bensì una convinzione supportata dalla logica che anima questo tipo di giochi: la risposta non può essere “ambigua”.↩

5. Il numero più piccolo ottenibile prendendo tre di queste carte è 3+5+6, cioè 14.↩

6. Nel codice non è codificato 55 perché viene calcolata la somma dell'array di partenza (1, 2, 3, …, 10).↩

7. Le condizioni sono soddisfatte 3456 volte… Il programma usa la forza bruta, senza troppe sottigliezze; per questo considera più e più volte le stesse soluzioni: considera importante l'ordine delle carte, quindi [1,2,3] è considerato diverso da [1,3,2]… e così per le altre permutazioni. Quindi il risultato corretto è ripetuto più volte: c'è ampio margine di miglioramento, ma non è intenzione di affrontare l'argomento in questo post (né in altri, in verità). Per avere la soluzione basta che il programma dia la prima soluzione trovata, che di fatto è “indistinguibile” da tutte le altre, relativamente alla somma cui siamo interessati.↩