Gli ingredienti parlamentari

Nel precedente post ho stimato che gli élite interessati ad entrare in politica siano 2100, le persone comuni (la gente) interessate ad entrare in politica sarebbero invece nell'ordine di 44000. I dettagli (opinabilissimi, per carità) su come sono arrivato a questi numeri e su chi sia élite e chi no sono dati nel post precedente.


Ora supponiamo che il parlamento (630 seggi) si possa considerare élite se almeno il 50%+1 (316) dei suoi membri sono élite; per calcolare il numero di combinazioni che portano a 316 membri élite dai 2100 totali, si può usare il coeffieciente binomiale. Se N è il numero di tutte le combinazioni possibili dei diversi elementi élite e non élite,

$$ \frac{1}{N}\binom{2100}{316} = \frac{1}{N} \frac{2100!}{316!(2100-316)!} $$

è la probabilità di avere un parlamento con 316 élite;

$$ \frac{1}{N} \binom{2100}{317} $$

sarà la possibilità di un parlamento con 317 élite e così via. La somma di queste probabilità ci dà la probabilità di avere un parlamento élite:

$$ \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{314} \binom{2100}{316+i} $$

Con passaggi che vi risparmio:

$$ \frac{1}{N} \binom{630}{316} \sum_{s=0}^{314}P_s(2100, 316) $$

dove la definizione per P è data ricorsivamente

$$ \begin{array}{lll} P_0(n,k) &= & 1 \\ P_1(n,k) &= & \frac{n-k}{k+1} \\ P_2(n,k) &= & P_1(n,k) \frac{n-k-1}{k+2} \\ P_{s+1}(n,k) &= & P_s(n,k)\frac{n-k-s}{k+s+1} \end{array}$$

Non resta che calcolare N e poi far tritare il tutto magari a un computer, con le debite accortezze. Il numero totale di combinazioni di 2100+44000 persone per formare un parlamento di 630 individui è semplicemente il coefficiente binomiale calcolato con n = 46100 e k = 630. Allo scopo di avere un numero che ci ricorda qualche altra cosa (44100), sono disposto a far fuori 2000 persone, e avere quindi solo 42000 individui non-élite interessati ad entrare in politica. Questo avvantaggia, se così si può dire, gli élite.

Possiamo un po' migliorare il conto con i fattoriali facendo opportune semplificazioni, ma tagliamo la testa al toro usando invece l'approssimazione di Stirling per il fattoriale, una stima della probabilità dovrebbe essere

$$ \exp\left(-3302.03 + 436.67 + \ln\sum P_s\right) = e^{-2865.36}\sum P_s $$

Per calcolare la sommatoria ci possiamo affidare a un programmino, usando un linguaggio con precisione arbitraria perché i numeri sono grandi, oppure accorgerci che la scrittura ricorsiva è stata tanto scenografica quanto inutile visto che si può riscrivere in termini di fattoriale e riapplicare Stirling.

Dovrebbe essere che

$$ P_s(n,k) = \frac{(n-k)!}{(n-k-s)!} \frac{k!}{(k+s)!} $$

Dovremmo poi trovare il modo di sommarli. Tutto all'insegna di evitare i numeroni e andare avanti di logaritmo.

$$ \ln P_s(n,k) = \ln\frac{(n-k)^{n-k}k^k}{(k+s)^{k+s}(n-k-s)^{n-k-s}} $$

che non è proprio il massimo. Può essere pure che ci siamo complicati la vita inutilmente e fare i conti in realtà sia molto più facile, procedendo diversamente dall'inizio. Per pigrizia finale ho usato bc, per ottenere

$$ \ln\sum P_s = 393.703 $$

Per cui
$$ e^{-2865.36} e^{393.703} = e^{−2471.657} $$
che è un numero incredibilmente piccolo, al punto che possiamo dire che è 0. Sempre che non abbia commesso errori, dall'impostazione dei conti fino ai conti veri e propri —l'ora tarda in cui scrivo non concilia questo genere di cose.

Se comunque i conti sono giusti, la probabilità di trovare una combinazione, tra tutte quelle possibili, subottimale ma accettabile secondi i criteri stabiliti prima, è praticamente nulla.

Ricordo anche che stiamo nell'ipotesi in cui ogni combinazione è equiprobabile e quindi la probabilità che si abbia il parlamento élite è pari al numero di combinazioni che soddisfano i criteri diviso il numero totale di combinazioni.

Questo articolaccio sarà soggetto a revisione se dovessi accorgermi che ci sono pessimi errori di quelli che ti fanno sotterrare la testa —e naturalmente anche se qualcun altro me ne dovesse far notare.